INTRODUCCION

En ocasiones, incluyendo algunos temas de este propio sitio web, las cifras de números enteros muy grandes, o las decimales extremadamente pequeñas, se representan en forma más simplificada. Veamos algunos ejemplos:

Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o también de 300 000 000 m/seg . Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros.

Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento matemático denominado “notación científica”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior seguramente aparecerían escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente:

“La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg ...”. “La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes ...” y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros...”

Se nota la diferencia ¿verdad?

HISTORIA

El primer intento de representar números demasiados
extensos fue emprendida por el matemático y filósofo griego
Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el
siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para
estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El
número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la
coincidencia del exponente con el número de casilleros del
ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es
n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la
Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero
de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado
a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de
representación de los números reales a través del coma
flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo
(1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939)

SABERE PREVIOS !!!!!!!

¿ QUE ES LA NOTACION CIENTIFICA?

El trabajo de los cientificos muchas veces nos lleva a obtener resultados utilizando numeros muy grandes o muy pequeños para ello se valen de la NOTACION CIENTIFICA para poderlos expresar.

¿ EN QUE CONSISTE?

Consiste en expresar un numero entre los valores igual o mayor a 1 pero menor que 10, multiplicado por la base 10 elevado a la “n”.

Ax10 elevada a la “n”
N= Positivo (izquierda)
N = Negativo (derecha)

EJEMPLO:

• Masa de la tierra
6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg
6x10 a la 24va potencia

• Masa del electrón
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg
9,11x10 - - 31va potencia

Método para representar un número entero en notación científica

Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede reducir empleando la notación científica. Veamos en la práctica algunos ejemplos:

ESCRITURA

• 100 = 1

• 101 = 10

• 102 = 100

• 103 = 1 000

• 104 = 10 000

• 105 = 100 000

• 106 = 1 000 000

• 109 = 1 000 000 000

• 1010 = 10 000 000 000

• 1020 = 100 000 000 000 000 000 000

• 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1:

• 10-1 = 1/10 = 0,1

• 10-3 = 1/1000 = 0,001

• 10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por lo tanto un número como 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234•1029, y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2,34•10-11.

OPERACIONES MATEMATICAS

ADICION

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo: 5•106

Para sumar (o restar) dos números (o mas) primero y principal debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez, para esto multiplicamos por diez tantas veces como sea necesario el coeficiente a reducir el exponente. Luego buscamos como factor común las potencia de base diez de igual exponente. Por ultimo se opera. De esta manera se obtiene el resultado de la adición o la sustracción.

Ejemplo:

2 • 104 + 3 •105

2 • 104 + 3 • 104 • 101

104 • (2 + 101 • 3)

32 • 104

MULTIPLICACIÓN

Se multiplican los coeficientes y se suman a la ves los exponentes:

Ejemplo: (4•105)•(2•107) = 8•1012

DIVISIÓN

Se dividen las mantisas y se restan los exponentes (numerador_denominador):
Ejemplo: (4•1012)/(2•105) =2•107

POTENCIACIÓN

Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:
Ejemplo: (3•106)2 = 9•1012

RADICACIÓN

Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplo:

UNIDADES BASICAS

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas, también denominadas unidades fundamentales. Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como fundamentales, a partir de las cuales se definen las demás:

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan
mediante prefijos. Así, por ejemplo, la expresión kilo indica "mil" y, por lo tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que mili indica "milésima" y, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.

NOTA SOBRE EL KILOGRAMO

La denominación de esta unidad induce a error dado que se puede interpretar como múltiplo del gramo. Sin embargo, se corresponde con la masa de un objeto "patrón", único caso en el que se mantiene este método, por las grandes dificultades que presenta definirlo de modo semejante a los demás, aunque se está estudiando el modo de hacerlo

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICAS

• Kelvin (K).

Unidad de temperatura termodinámica.
Definición: Un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.


• Segundo (s).

Unidad de tiempo.
Definición: El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.


• Metro (m).

Unidad de longitud.
Definición: Un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.


• Kilogramo (kg).

Unidad de masa.
Definición: Un kilogramo es una masa igual a la almacenada en un prototipo.


• Amperio (A).

Unidad de intensidad de corriente eléctrica.
Definición: Un amperio es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.


• Mol (mol).

Unidad de cantidad de sustancia.
Definición: Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.


• Candela (cd).

Unidad de intensidad luminosa.
Definición: Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540•1012 hercios y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

OPERACIONES BASICAS

ADICION Y SUSTRACCION

Si hay que sumar o restar medidas expresadas en Notación

Científica (Mx10n). Si estas tienen el mismo exponente,

simplemente suma o resta los valores de k, manteniendo el

mismo valor que n.

EJEMPLOS

Cómo sumar y restar con exponentes iguales

• 4 x 108 m + 3 x 108 m = 7 x 108 m

• 4 x 10-8 m + 3 x 10-8 m = 7 x 10-8 m

• 8.1 x 106m - 4.2 x 106 m = 3.9 x 106 m

• 6.2 x 10-3 - 2.8 x 10-3 m = 3.4 x 10-3 m

Si las potencias de diez no son iguales, hay que hacerlas

iguales antes de sumar o restar. Mueve el punto decimal hasta

igualar los exponentes.

EJEMPLOS

Cómo restar y sumar con exponentes distintos

a. 4.0 x 106 m + 3 x 105 m c.4.0 x 10-6 Kg - 3 x 10-7 Kg

= 4.0 x 106 m + 0.3 x 106 m =4.0 x 10-6 Kg - 3 x 10-6 Kg

= 4.3 x 106 m =3.7 x 10-6 Kg

b. 4.0 x 106 cm - 3 x 105 cm

= 4.0 x 106 cm - 0.3 x 106 cm

= 3.7 x 106 cm

LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE LA NOTACION CIENTICA

Las medidas expresadas en notación científica se pueden multiplicar sin importar si lo exponentes son distintos o no. Multiplica los valores de K, luego suma los exponentes.


Ejemplo:

a. ( 3 • 106m) ( 2 • 103m) = 6 • 106+3 m2 = 6 • 109m2

b. ( 2 • 10-5m) ( 4 • 109m) = 8 • 109-5 m2 = 8 • 104 m2

c. (4 • 103kg) (5 • 1011m) = 20 • 103+11 kg. • m = 2 • 1015kg.m

La división en la Notación Científica:

Las medidas expresadas en Notación Científica pueden dividirse, sin importar si los exponentes son distintos o no. Divide los valores de k y resta el exponente del divisor del exponente del dividendo.


Ejemplo:

a. 8 • 106m = 4 • 106-3m/s = 4 • 103m/s

2. 103 s

b. 8 • 106kg = 4 • 106-(-2) kg/m3 = 4 • 108kg/m3

2. 10-2m3

REPRESENTACION NUMERICA

Utilizemos correctamente la notación científica en la resolución de problemas

La notación científica ( notación índice estándar ) es un modo conciso de anotar números enteros mediante potencias de diez , esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños.


10^1 = 10

10^2 = 100

10^3 = 1,000

10^6 = 1,000,000

10^9 = 1,000,000,000

10^20 = 100,000,000,000,000,000,000


Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10 n o, equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1:


10^-1 = 1/10 = 0,1


10^-3 = 1/1000 = 0,001


10^-9 = 1/1.000.000.000 = 0,000000001


Por lo tanto un número como 156,234,000,000,000,000,000,000,000,000 puede ser escrito como 1.56234 × 10 29 , y un número pequeño como 0.0000000000234 puede ser escrito como 2.34 × 10 -11


Ejemplos:


34,456,087 = 3.4456087 × 10^7


0.0004 508 421 = 4.508 421 × 10^-4


-5,200,000,000 = - 5.2 × 10^9


-6.1 = -6.1 × 10^0


La parte potencia de 10 se llama a menudo orden de magnitud del número, y las cifras de a son los dígitos significativos del mismo.


Es muy fácil pasar de la notación decimal usual a la científica, y recíprocamente, porque las potencias de diez tienen las formas siguientes:


Si el exponente n es positivo, entonces 10^n es un uno seguido de n ceros:


Por ejemplo 10^12 = 1,000,000,000,000 (un billón)


Si el exponente es negativo, de la forma -n , entonces:


Por ejemplo 10^-5 = 0.00001, con cuatro ceros después de la coma decimal y cinco ceros en total.


Esta notación es muy útil para escribir números muy grandes o muy pequeños, como los que aparecen en la Fìsica: la masa de un protón (aproximadamente 1.67×10^-27 kilogramos), la distancia a los confines observables del universo (aproximadamente 4.6×10^26 metros).


Esta escritura tiene la ventaja de ser más concisa que la usual si uno se conforma en usar pocos dígitos significativos (uno sólo para estimar una magnitud, dos o tres en ramas de las ciencias experimentales donde la incertidumbre supera el uno por mil y a veces el uno por ciento): 1.26×10^10 resulta más corto que 12.600.000.000, pero el primer ejemplo dado,


34,456,087 = 3.4456087 × 10^7 no presenta tal ventaja.


La notación científica permite hacer cálculos mentales rápidos (pero a menudo aproximados), porque permite considerar por separado los dígitos significativos y el orden de magnitud (además del signo):


Ejemplos:


Productos y divisiones:


4×10^-5 multiplicado por 3×10^-6 son:


3×4) × 10^-5-6 = 12 × 10^-11 = 1.2 × 10^-10


5×10 8 dividido por 3 × 10^5 son:


(5/3) × 10^8-5 = 1.33 × 10^3


Sumas y diferencias: sin ningún término es despreciable para con el otro, hay que reducirlos a la misma potencia de diez y luego sumar o restar:


4.1 × 10^12 + 8 × 10^10 = 4.1 × 10^12 + 0.08 × 10^12 = 4.18 × 10^12

1.6 × 10^-15 – 8.8 × 10^-16 = (16 – 8.8) × 10^-16 = 7.2 × 10^-16

A TRABAJAR !!!

Resuelve el siguiente problema utilizando notación científica:


1.- Una año luz es la distancia que viaja la luz en un año, es decir, aproximadamente 5,869,713,600 millas. Se estima que la Vía Láctea tiene un diámetro de aproximadamente 200,000 años luz. ¿Cuántas millas tiene la Vía Láctea de diámetro?



2.- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 10^9 años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos?



3.-Se calcula que en la Vía Láctea hay aproximadamente 1.2 x 10^11 estrellas. ¿Cuántos años le tomaría a una persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?

Expresa en notacion cientifica las siguientes cantidades :

23 00 000 000=


0, 000 000 0002=


0, 000 000 000 000 034=


4507000 000 000 000=


18 000 000 000 0000=


420 000 000 000 000 000 000=


0, 000 001=


0, 0000 2541=